Задача 7. Хорошие раскраски ≡
- задачи
- видимые пробелы
- простые формулы
- широкий текст
- редактор
-
Условие
Назовем раскраску клеток таблицы n × m хорошей,
если никакие четыре клетки, центры которых образуют вершины прямоугольника со сторонами,
параллельными осям координат, не покрашены в один цвет.
Иначе говоря, для раскраски не должно быть такой четверки целых чисел x1, x2, y1, y2,
что 1 ≤ x1 < x2 ≤ n, 1 ≤ y1 < y2 ≤ m,
и клетки (x1, y1), (x2, y1), (x1, y2) и (x2, y2) покрашены в одинаковый цвет.
Требуется написать программу, которая по заданным целым числам n, m и c находит
любую хорошую раскраску таблицы n × m в c цветов.
Формат входных данных
В первой строке записаны три целых числа n, m, c.
Гарантируется, что для заданных во входных данных значений
существует хотя бы одна хорошая раскраска.
Формат выходных данных
Выведите n строк по m чисел в каждой.
В качестве j-го числа i-й строки выведите ai,j —
цвет клетки (i,j) (1 ≤ ai,j ≤ c).
Если есть несколько хороших раскрасок, можно вывести любую из них.
Ограничения
2 ≤ n, m ≤ 10, 2 ≤ c ≤ 3
Система оценки
Кроме теста из примера в этой задаче 20 тестов,
каждый независимо оценивается в 5 баллов.
Среди этих тестов в пяти тестах c = 2 и в пятнадцати тестах c = 3.
Для каждого теста сообщается результат проверки на этом тесте.
Разбор
Эта задача — довольно нетрадиционная для олимпиад по информатике.
Вместо конкретного конструктивного или алгоритмического решения участникам
предлагалось поэкспериментировать с эвристиками и перебором.
Прежде чем разобрать основные идеи, отметим, что конструктивного решения в этой задаче,
скорее всего, нет. На это наводит следующая мысль: конструктивный паттерн,
который решал бы задачу для приведенных ограничений, мог бы быть распространен
на бесконечное поле.
А можно доказать — кстати, интересное олимпиадное упражнение по математике —
что раскрасить таким образом в 2 или 3 цвета бесконечное поле невозможно.
Отметим, что в задаче очень маленькие ограничения и потестовая оценка.
В принципе, можно локально запустить решение для всех возможных входов (их 200)
и отправить в систему результаты предподсчета.
Практически любое продвижение для больших полей вознаграждается баллами.
Перейдем теперь к рассмотрению основных идей переборных решений и
решений с помощью локальных оптимизаций.
Перебор
Самое простое решение это перебор за O(cn ⋅ m),
можно перебирать все раскраски простой рекурсией:
перебирать цвета клеток в порядке сортировки по строкам и при равенстве по столбцам,
и проверять, подходит ли итоговое поле.
Чтобы оптимизировать это решение, в процессе перебора подходящих раскрасок, можно проверять,
что среди клеток, которым уже проставлены значения, нет плохих четверок.
Это решение уже может пройти все тесты с c = 2 и значительное число тестов с c = 3.
Чтобы еще больше оптимизировать решение,
можно перебирать цвета для клеток в случайном порядке.
Дополнительная оптимизация, которая сильно ускоряет перебор, — добавление мемоизации.
А именно, давайте запоминать некоторую информацию про текущую раскраску,
которая точно не приведет к ответу (так как такая же комбинация перебиралась ранее,
и ответ найден не был). Например, можно хранить множество троек (c, y1, y2),
для которых среди уже покрашенных клеток найдется такое x, что ax,y1 = ax,y2 = c,
и проверять, что такое множество не встречалось,
когда мы начинаем красить первую клетку в определенной строке.
Прошлое решение работает заметно лучше при m < n,
в противном случае можно поменять местами n и m и транспонировать поле для ответа.
С этими оптимизациями можно пройти почти все тесты.
Локальные оптимизации
Другим возможным решением является метод локальных оптимизаций.
Исходно проставим каждой клетке случайный цвет 1… c.
Затем будем выбирать случайную клетку и изменять ей цвет,
если при этом уменьшится стоимость поля.
Стоимостью поля может быть почти любая функция, которая будет равна нулю для хороших полей.
Например, за нее можно взять количество таких четверок x1, x2, y1, y2,
что 1 ≤ x1 < x2 ≤ n, 1 ≤ y1 < y2 ≤ m,
и клетки (x1, y1), (x2, y1), (x1, y2) и (x2, y2) покрашены в одинаковый цвет.
Когда никакое изменение цвета не приведет к уменьшению ответа, можно завершить процесс.
Для большинства случайных раскрасок стоимость в конечном итоге будет равна маленькому числу.
А если с исходной раскраской «повезёт», то стоимость будет равна нулю,
и поле сойдется к хорошему полю.
Отсюда выходит следующее решение: будем случайно генерировать исходные поля,
запускать описанный выше процесс, пока стоимость уменьшается,
и проверять что в конце получился . Если получился, то можно вывести ответ.
Иначе генерируем исходное поле заново.
Это решение способно пройти все тесты с ограничениями этой задачи меньше чем за секунду.
У истоков компании
Логотип Slavia (1895—1905)
История Шкоды начинается совсем не с автомобилей. В 1895 году в городе Млада Болеслав два амбициозных молодых инженера наладили выпуск велосипедов, назвав компанию собственными фамилиями Laurin&Klement. Большая часть комплектующих поставлялась чехам из Туманного Альбиона, но это не помешало им назвать собственный бренд «Slavia». В этот период появился и первый логотип — изображение колеса в окружении липовых листьев, что символизировало славянское происхождение знака.
Новый этап развития фирмы, начавшийся в 1905 году, ознаменовался сменой бренда, претерпел изменение и логотип. Теперь основу составляли инициалы основателей L&K, располагавшиеся в центре круга, окруженного лавровыми листьями. Выбор именно этого растения, возможно, объясняется созвучностью фамилии владельца — Laurin с англоязычным словом laurel, обозначавшим растение, которым чествовали победителей. Своя виктория была и у L&K – в 1905 году компания выпустила первый автомобиль.
Логотип Laurin&Klement (1905—1925)
Рождение легенды
Важной вехой для компании L&K стало слияние с фирмой Pilsen Skoda, произошедшее в 1925 году. Последняя ведет историю с 1869 года, когда Эмиль Шкода купил механический завод, а в 1923 году сумел зарегистрировать логотип, включавший собственное имя. Дела компании шли в гору и она участвовала в знаковых проектах того времени — сооружении Суэцкого канала и строительстве электростанции на реке Ниагара
Знак L&K присутствовал на радиаторе фирменных автомобилей вплоть до 1926 года, после чего окончательно заменился на логотип Шкода
Дела компании шли в гору и она участвовала в знаковых проектах того времени — сооружении Суэцкого канала и строительстве электростанции на реке Ниагара. Знак L&K присутствовал на радиаторе фирменных автомобилей вплоть до 1926 года, после чего окончательно заменился на логотип Шкода.
Логотип Skoda (1926—1933)
Объединение двух брендов имело коммерческую цель — увеличить производство и расширить присутствие на автомобильном рынке. Новому игроку понадобился собственный логотип. Это был овал, по периметру которого располагался лавровый венок, а внутри находилась надпись. Но такая эмблема Шкода оказалась не слишком удачной (перестала использоваться с 1933 года) и параллельно с ней появился другой вариант, положивший начало современному логотипу.
Речь идет о знаменитой парящей стреле индейца — такой рисунок победил в организованном дизайнерском конкурсе, проходившем в Праге. Было предложено два изображения — одно со стрелой, стилизованной пятью перьями, а другое тремя. Первый логотип не прижился и существовал только в 1924-1925 годах, а второй просуществовал не одно десятилетие.
Логотип Skoda (1926—1996)
Но почему индейская тема? Существует немало предположений, но ни одно не имеет точного подтверждения. По одной версии это заслуга коммерческого директора компании Т. Маглича, предполагавшего поместить на значок Шкода голову индейца в шляпе, украшенной перьями. Другая версия отсылает за авторством шильдика к Эмилю Шкода, который во время визита за океан сдружился с местным индейцем, везде сопровождавшим его. Возможно, это и не так, но картина с профилем брутального индейца долгое время украшала кабинет босса компании. Некоторые исследователи считают, что этот портрет и послужил основой для логотипа.
В любом случае выбор оказался верным, ведь именно с этим логотипом автоконцерн пережил взлеты и падения, став хорошо известным массовому автолюбителю. Правда, имя автора нетленного шедевра осталось неизвестным. Круглый знак сине-белых тонов со стрелой и тремя перьями наносился на машины вплоть до 1990 года, после чего стал использоваться в производстве некоторых оригинальных комплектующих.
Символы современности
За последнюю четверть века логотип Шкода претерпевал неоднократные изменения, но ни одно из них нельзя назвать радикальным. В 1991 году Skoda приобрела права на зарегистрированную торговую марку. Спустя два года, при изображении логотипа начали использовать зеленый и черный цвета, причем оба имеют глубокий смысл. Первый олицетворяет заботу об окружающей среде, а второй — богатые традиции производства. Кроме того, над индейцем появилась надпись Skoda, а стрела и лавровая ветвь стали объемными.
Логотип Skoda Auto (1999—2011)
В 1995 году, когда праздновался вековой юбилей, одна из моделей компании Skoda Felicia отметилась специальным логотипом, узнаваемым по цифре «100», помещенной в центр зеленого круга. В 1999 году знак Шкода лишился привычного лаврового венка, но сохранил узнаваемый корпоративный стиль. Знакомая зеленая стрела была помещена на белом поле, вписанном в черный круг.
В 2011 году увеличился размер стрелы, которая стала сильнее акцентировать внимание на себе. Ушел в прошлое естественно-зеленый цвет, уступивший место более насыщенному оттенку Skoda Green. На внешней кромке появилась стильная хромированная окантовка
Надпись покинула круг и расположилась над ним, лишившись слова auto. По мнению авторов обновленного значка, он более точно отражает важные принципы автоконцерна — свежесть и целеустремленность. На современных автомобилях эмблема применяется в монохромном варианте без зеленых оттенков, что соответствует динамичности и приверженности высоким технологиям
На внешней кромке появилась стильная хромированная окантовка. Надпись покинула круг и расположилась над ним, лишившись слова auto. По мнению авторов обновленного значка, он более точно отражает важные принципы автоконцерна — свежесть и целеустремленность. На современных автомобилях эмблема применяется в монохромном варианте без зеленых оттенков, что соответствует динамичности и приверженности высоким технологиям.
Логотип Skoda (с 2011)